"Разбирает ли" ГИБДД дорожно-транспортное происшествие и определяет ли виновника ?

Нет, ГИБДД не устанавливает виновника в ДТП ! Почему, Вы можете узнать внимательно прочитав КоАП РФ и полномочия органов МВД (ГИБДД). Но если Вам лень самому разбираться, то участники конференции ГАИ на сервере AUTO.RU  mil_chel и alex999 постарались Вам помочь разобраться :

Вопрос : Вчера пришёл на разбор в ГИБДД, а там сказали, что разборов сейчас нет... Т.е. единственное рассмотрение ДТП - это протокол, который составил вызванный на место ДТП инспектор. Если есть притензии - пишите заявления в канцелярии ГИБДД, а потом подавайте в суд.

Ответ: Различайте АПН и ДТП.
Нарушение ПДД-АПН- административное дело, между гражданином и государством. Государство наказывает гражданина за нарушение ПДД-КоАП. ГИБДД занимается только этим.

ДТП - конфликт между гражданами, в котором один из них или оба понесли ущерб. Это гражданское дело. Разбирается по ГПК-ГК. ГИБДД по нему никаких решений не выносит. Решается полюбовно или в суде. При решении существенно, что кто то из граждан при ДТП совершил АПН - административное правонарушение, то есть такое нарушение, которое предусмотрено КоАП РФ (это устанавливает ГИБДД либо  суд в рамках дела по КоАП) и ущерб является следствием этого АПН (это устанавливается в рамках дела по ГПК-ГК - при рассмотрении иска о причинении вреда). Если только один гражданин совершил АПН, то и дело по ГПК-ГК решается фактически практически "автоматом" - принято считать судьями, что ущерб нанес тот, кто совершил АПН. Если оба совершили АПН, то разрешение гражданских споров по ГПК-ГК идет уже сложнее.
Вот и Ваша ситуация в том - важно кто будет признан нарушителем ПДД-КоАП - один или оба участника ДТП.

Однако, не все нарушения ПДД РФ наказываются по КоАП РФ. В таком случае говорят об отсутствии СОСТАВА правонарушения. Однако, если СОБЫТИЕ (нарушение ПДД РФ или иное, что привело к причинению вреда) было и оно повлекло за собой ДТП, этого тоже для определения "причинителя" вреда в рамках дела по ГК РФ (при рассмотрении иска) обычно достаточно. Поэтому следует в ГИБДД потребовать при выдаче справки о ДТП записи о нарушении ПДД или описания СОБЫТИЯ. . Типичным примером такого СОБЫТИЯ является случай, когда один из автомобилей откатывается назад на горке и ударяет сзади стоящий автомобиль. СОБЫТИЕ налицо, однако СОСТАВА правонарушения нет (по КоАП РФ). Протокол в таких случаях может и вовсе не составляться сотрудником ГИБДД, Будьте здесь внимательны.

Вопрос:
: - на самом ли деле они не должны проводить разбор? (на сайте ГИБДД написано, что обязаны в течении 15 дней)

Ответ: Какой "сайт ГИБДД" вы смотрели ? Если это gai.ru, то не следует принимать все, что там написано, буквально. Этот сайт к ГИБДД ни какого отношения не имеет.
А теперь - по существу. Сначала возбуждение дела протоколом, потом рассмотрение дела, потом вынесение постановления - так по КоАП. И никак иначе (в Вашем случае). Без рассмотрения нельзя. Разбор - это бытовое название "рассмотрения". Правильно говорить "рассмотрение" (а не разбор, стрелка и т.п.).

Вопрос:
 - если я напишу заявление об АПН, в ГИБДД его обязаны рассмотреть? должен ли я и свидетель при этом присутствовать?

Ответ:
Конечно- заявление физического лица является одним из поводов для возбуждения дела об АПН.

Вопрос:
: - можно ли просто принести в канцелярию письменные показания свидетеля?

Ответ:
 Можно, но лучше чтобы его дополнительно опросили по форме (по процедуре он должен быть предупрежден об ответственности за дачу ложных показаний, должны быть записаны все его данные, он должен ответить на вопросы и пр.).

Вопрос:
: - стоит ли писать заявление о введении в заблуждение сотрудником ГИБДД, который отказался признать наличие свидетелей(один оставил только имя и телефон, а этого мало....а другой охранник и как должностное лицо - не может быть свидетелем)? Т.к. именно отсутствие свидетелей позволило ему признать меня единоличным нарушителем ПДД.

Ответ:
 Это все при рассмотрение дела об АПН. А если постановление вынесли - при обжаловании.