Формула для расчета абсолютной погрешности

Введение

Все, что сказано в этом введении, запоминать не нужно. это справочный материал, к которому вы будете обращаться при выполнении лабораторных работ.

1. Как определять погрешности измерений

Выполнение лабораторных работ связано с измерением различных физических величин и последующей обработкой их результатов.

Измерение — нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений.

Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно средствами измерения.

Косвенное измерение — определение значения физической величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми прямыми измерениями.

Введем следующие обозначения:

A, B, C, … — физические величины.

A_пр — приближенное значение физической величины, т.е. значение, полученное путем прямых или косвенных измерений.

ΔA — абсолютная погрешность измерения физической величины.

ε — относительная погрешность измерения физической величины, равная:

Δ_иA — абсолютная инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора (погрешность средств измерения; указывается в каждой работе при описании прибора в разделе Оборудование и средства измерения)

Δ_оA — абсолютная погрешность отсчета (получающаяся от недостаточно точного отсчета показаний средств измерения), она равна в большинстве случаев половине цены деления; при измерении времени — цене деления секундомера или часов.

Максимальная абсолютная погрешность прямых измерений складывается из абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчета при отсутствии других погрешностей:

ΔA=Δ_иA + Δ_оA

Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры (ΔA≈0,17=0,2); численное значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности (А=10,332≈10,3).

Результаты повторных измерений физической величины А, проведенных при одних и тех же контролируемых условиях и при использовании достаточно чувствительных и точных (с малыми погрешностями) средств измерения, отличаются друг от друга.

В этом случае A_пр находят как среднее арифметическое значение всех измерений, а ΔA (ее в этом случае называют случайной погрешностью) определяют методами математической статистики.

В школьной лабораторной практике такие средства измерения практически не используются. Поэтому при выполнении лабораторных работ необходимо определять максимальные погрешности измерения физических величин. При этом для получения результата достаточно одного измерения.

Относительная погрешность косвенных измерений определяется, как показано в таблице 1.

Абсолютная погрешность косвенных измерений определяется по формуле ΔA=A_прε (ε выражается десятичной дробью).

Таблица 1

Формулы для нахождения относительной погрешности косвенных измерений

Nº п/п	Формула физической величины	Формула относительной погрешности
1
2
3	A=B+C
4

2. О классе точности электроизмерительных приборов

Для определения абсолютной инструментальной погрешности прибора надо знать его класс точности. Класс точности γ_пр измерительного прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная инструментальная погрешность Δ_иA от всей шкалы прибора (A_max):

Класс точности указывается при описании прибора в разделе Оборудование и средства измерения. Cуществуют следующие классы точности электроизмерительных приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Зная класс точности прибора (γ_пр) и всю его шкалу (A_max), определяют абсолютную погрешность Δ_иA измерения физической величины А этим прибором:

3. Как сравнивать результаты измерений

1. Записать результаты измерений в виде двойных неравенств:

A_{1 пр} – ΔA₁ < A_{1 пр} < A_{1 пр} + ΔA₁A_{2 пр} – ΔA₂ < A_{2 пр} < A_{2 пр} + ΔA₂
2. Сравнить полученные интервалы значений (рис.1): если интервалы не перекрываются, то результаты неодинаковы, если перекрываются — одинаковы при данной относительной погрешности измерений.

Рисунок 1.

4. Как оформлять отчет о проделанной работе

Отчетом о проделанной работе является форма, находящаяся в левом нижнем окне. После ее заполнения надо нажать на кнопку «Отправить результаты на сервер».

Значения измеренных физических величин переносятся в таблицу результатов автоматически после нажатия соответствующей кнопки.

Значения остальных величин и ответ на контрольный вопрос вводятся с клавиатуры.

домашней странице BARSIC

1.1 Результат измерения

Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня
с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью
некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину
стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с
общепринятым стандартным эталоном.

Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат
x=xизм. Можно ли утверждать, что xизм — это длина
стержня?

Во-первых, значение xне может быть задано точно, хотя бы
потому, что оно обязательно округлено до некоторой значащей
цифры: если линейка «обычная», то у неё
есть цена деления; а если линейка, к примеру, «лазерная»
— у неё высвечивается конечное число значащих цифр
на дисплее.

Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на
самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно,
мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть
изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим
и т.п.

И, наконец, если пытаться хотя бы гипотетически переходить к бесконечной
точности измерения, теряет смысл само понятие «длины стержня». Ведь
на масштабах атомов у стержня нет чётких границ, а значит говорить о его
геометрических размерах в таком случае крайне затруднительно!

Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть
произведено абсолютно точно, то есть
у любого измерения есть погрешность.

Замечание. Также используют эквивалентный термин ошибка измерения
(от англ. error). Подчеркнём, что смысл этого термина отличается от
общеупотребительного бытового: если физик говорит «в измерении есть ошибка»,
— это не означает, что оно неправильно и его надо переделать.
Имеется ввиду лишь, что это измерение неточно, то есть имеет
погрешность.

Количественно погрешность можно было бы определить как разность между
измеренным и «истинным» значением длины стержня:
δ⁢x=xизм-xист. Однако на практике такое определение
использовать нельзя: во-первых, из-за неизбежного наличия
погрешностей «истинное» значение измерить невозможно, и во-вторых, само
«истинное» значение может отличаться в разных измерениях (например, стержень
неровный или изогнутый, его торцы дрожат из-за тепловых флуктуаций и т.д.).
Поэтому говорят обычно об оценке погрешности.

Об измеренной величине также часто говорят как об оценке, подчеркивая,
что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств
исследуемого объекта, но и от процедуры измерения.

Замечание. 
Термин оценка имеет и более формальное значение. Оценкой называют результат процедуры получения значения параметра или параметров физической модели, а также иногда саму процедуру. Теория оценок является подразделом математической статистики. Некоторые ее положения изложены в главе , но для более серьезного понимания следует обратиться к [].

Для оценки значения физической величины корректно использовать
не просто некоторое фиксированное число xизм, а интервал (или
диапазон) значений, в пределах которого может лежать её
«истинное» значение. В простейшем случае этот интервал
может быть записан как

x=xизм±δ⁢x,

где δ⁢x — абсолютная величина погрешности.
Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале
x∈(xизм-δ⁢x;xизм+δ⁢x)
с некоторой достаточно большой долей вероятности (более подробно о
вероятностном содержании интервалов см. п. ).
Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать
относительную величину погрешности:

εx=δ⁢xxизм.

Она показывает, насколько погрешность мала по сравнению с
самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах:
ε=δ⁢xx⋅100%).

Пример. Штангенциркуль —
прибор для измерения длин с ценой деления ,1⁢мм. Пусть
диаметр некоторой проволоки равен ,37 мм. Считая, что абсолютная
ошибка составляет половину цены деления прибора, результат измерения
можно будет записать как d=,40±,05⁢мм (или
d=(40±5)⋅10-5⁢м).
Относительная погрешность составляет ε≈13%, то
есть точность измерения весьма посредственная — поскольку
размер объекта близок к пределу точности прибора.

Методы Корнфельда и Стьюдента

Некоторые экспериментальные исследования требуют многократного измерения одного и того же показателя с помощью аппаратуры или приспособлений. В этом случае высока вероятность возникновения отклонений разброса. Определить ее величины можно разными способами. Самый распространенный и доступный из них называется по автору — методом Корнфельда.

Он применяется в ситуации, когда какая-либо физическая величина была измерена n раз. В этом случае рекомендован следующий порядок действий:

1. Предполагается, что имеется ряд результатов измерений от Х1 до Хn.
2. Из этих величин выбирают минимальную и максимальную.
3. Вычисляют среднее значение Х.
4. В пределах от наименьшего до наибольшего показателя выбирают доверительный интервал.
5. Чтобы найти абсолютное отклонение, необходимо вычесть из максимального результата измерения величину минимального. Полученную разность делят пополам.

Метод Корнфельда имеет существенный недостаток. Чтобы определить вероятность приведенного результата, необходимо провести большое количество измерений. При этом нет возможности изменить границы доверительного интервала. Более точные данные можно получить, используя метод расчета Стьюдента. Для этого используют специальные таблицы, где отражены так называемые коэффициенты Стьюдента.

Расчёт ошибок косвенных измерений

Пусть искомая
величина Апри выбранном
методе косвенных измерений рассчитывается
по формуле:

A
= f(x₁
,x₂
,x₃
,…,x_n
) (12)

где x₁,x₂,…,x_n
— величины, найденные в результате прямых
измерений, с учётом ошибок о которых
шла речь выше. Из-за этих ошибок величина
«А»
так же будет определяться с ошибками.

Пусть X₁,X₂,…,X_N
— значения f(x₁
,x₂
,x₃
,…,x_n), вычисленные
для разных серий измерений (x₁,x₂,…,x_n).

Таблица 1

Таблица коэффициентов
Стьюдента

Число измерений	Доверительная вероятность
0.7	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999
2	2.0	3.1	6.3	12.7	63.7	636.6
3	1.3	1.9	2.9	4.3	9.9	31.6
4	1.3	1.6	2.4	3.2	5.8	12.9
5	1.2	1.5	2.1	2.8	4.6	8.6
10	1.1	1.4	1.8	2.3	3.3	4.8
15	1.1	1.3	1.8	2.1	3.0	4.1
20	1.1	1.3	1.7	2.1	2.9	3.9

Абсолютной ошибкой
косвенных измерений, по аналогии с
аб­солютной ошибкой прямых измерений,
называют разность между ис­тинным
значением «А» и её значениями,
полученными в результате измерений:

(13)

Размерность
абсолютной ошибки совпадает с размерностью
определяемой величины. Относительной
ошибкой косвенных измерений называют
отвлечённое число:

(14)

Иногда относительную
ошибку выражают в процентах:

(15)

Для определения
величины «А» в формулах (12)…(15) по
теории

вероятностей
следует брать величину Х, которую можно
определить двумя способами:

1) А
= Х
= (Х₁
+ Х₂
+…+Х_n)/n
(16)

2) A
= X
= f(x₁
+ x₂
+…+x_n)
(17)

где x₁,x₂
,…, x_n
определяют по формуле (3). Если ошибки
измерений малы, то оба способа дают
практически тождественные результаты.

Рассмотрим способы
нахождения ошибки величины А,
опреде­лённой из косвенных измерений,
по найденным значениям оши

бок прямых измерений.
Выше отмечалось, что возможны различные
соотношения между приборной систематической
и случайными ошибками.

1-й случай. Преобладают
приборные ошибки. В этом случае можно
дать только оценку максимальной ошибки.
Формулы для нахож­дения предельной
ошибки косвенных измерений по внешнему
виду совпадают с формулами дифференциального
исчисления. В связи с этим для предельной
абсолютной ошибки используется формула:

(18)

а для расчёта
предельной относительной ошибки пригодна
фор

— 19 —

мула:

(19)

Формулы для расчёта
предельных ошибок некоторых часто
встречающихся функций, когда приборные
ошибки превышают случайные, приведены
в Таблице 2. Эти выражения легко
рассчитываются по формулам (18) и (19).

2-й случай. Преобладают
случайные ошибки. Для определения
среднеквадратичной ошибки теория
вероятностей даёт следующую формулу:

(20)

Относительная
ошибка вычисляется по формуле:

(21)

При выполнении
промежуточных расчётов необходимо
помнить, что число точных цифр в результате
расчётов не может увеличиваться. Поэтому
промежуточные результаты округляют,
сохраняя

1…2 избыточных
знака. При этом последующие цифры,
меньшие

5,отбрасываются;если
первая из отбрасываемых цифр больше 5,

то последняя из
оставшихся цифр увеличивается на
единицу. Ес

ли первая
отбрасываемая цифра 5, то предыдущая
цифра остаётся

без изменений,
если она чётная, и увеличивается на
единицу, если

она нечётная.
Выражения для среднеквадратичной ошибки
некоторых часто встречающихся функций
приведены в Таблице 3. Для определения
ошибок косвенных измерений используют
большую из инструментальной или случайной
ошибок прямого измерения.

Понятие и классификация

Под термином погрешность принято понимать степень отклонения реальной величины от вычисленной. Этот показатель служит мерой точности измерения.

Существует несколько разновидностей погрешности:

1. Абсолютная — оценка ошибки в абсолютных единицах. Величина ее может быть разной в зависимости от способа расчета.
2. Относительная — отношение абсолютной величины к тому значению, которое принято считать истинным. Измеряется в процентах.
3. Приведенная — разновидность относительной. Ее вычисляют отношением абсолютной и условной постоянной величины, определяется в процентах.
4. Приборная или инструментальная — погрешность, которую дают технические средства измерений. Она обусловлена неточной цифровой градуировкой приборов или недостаточной наглядностью. Класс точности приборов будет равен максимальной приведенной погрешности и выражается в процентах. К примеру, класс точности вольтметра ΔU = ±0,75 В.
5. Методическая — связанная с несовершенством метода измерения или его чрезмерным упрощением.
6. Субъективная или операторная — погрешность, связанная с личными свойствами оператора — невнимательностью, утомлением, профессиональной подготовленностью.
7. Случайная. Погрешность, которая может изменяться при разных измерениях. Изменения возможны по знаку или величине отклонения. Причиной может быть техническое несовершенство приборов отсчета или объекта измерения, неблагоприятные для работы условия или особенности измеряемых единиц.
8. Систематическая. Погрешность, изменения которой имеют некоторую закономерность во времени. В качестве частного случая допускают постоянное отклонение, которое не изменяется во времени.
9. Прогрессирующая или дрейфовая — медленно изменяется во времени и не может быть предсказана. Такое отклонение относится к случайным.
10. Грубая или промах. Значительное отклонение от принятой нормы. Возникает в результате неисправности аппаратуры или ошибки экспериментатора.

Абсолютная погрешность — измерительный прибор

Абсолютная погрешность измерительного прибора представляет собой расхождение ( разность) между измеренным Ли и действительным ( истинным) Лд значениями измеряемой величины ДЛ — / 4н — Ац. Истинное значение измеряемой величины находят с учетом поправки. Поправка — это величина, обратная по знаку абсолютной погрешности: ДР — ДЛ Ал-А. Абсолютная погрешность электроизмерительных приборов со стрелочным показателем практически неизменна в пределах всей шкалы, поэтому с уменьшением значения измеряемой величины она возрастает. Для повышения точности измерения измеряемой величины на показывающих приборах со стрелочным указателем следует выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчитывать показания примерно в пределах 2 / 3 всей шкалы.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора равна разности между показанием прибора и действительным ( точным) значением измеряемой величины.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора определяется разностью между показанием прибора и истинным значением измеряемой величины. Погрешность показаний прибора имеет своими источниками погрешности отдельных его элементов: чувствительного элемента, передаточного механизма и шкалы. Погрешность чувствительного элемента заключается в том, что действительная зависимость его перемещений от измеряемой величины не совпадает с расчетной, заложенной в схему прибора. Погрешность шкалы складывается из ошибки положения ее штрихов и эксцентриситета шкалы.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины. Так как истинное значение измеряемой величины установить нельзя, в измерительной технике используется так называемое действительное значение, полученное с помощью образцового прибора.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины. Поскольку последнее установить нельзя, то в измерительной технике используют так называемое действительное значение, полученное посредством образцового прибора.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины Так как величину истинного значения измеряемой величины установить нельзя, в измерительной технике используется так называемое действительное значение, полученное с помощью образцового прибора.
 

Приведенная погрешность измерительного прибора — отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к нормирующему значению, выраженное в процентах.
 

Корректность поставленных экспериментов доказана отсутствием превышения абсолютных ошибок измерения как при определении перемещений, так и напряжений над абсолютной погрешностью используемых измерительных приборов.
 

В некоторых случаях ( для образцовых и рабочих средств измерений повышенной точности) для исключения систематической погрешности показаний вводят поправку, равную абсолютной погрешности измерительного прибора.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора определяется разностью между показанием прибора и действительным значением измеряемой величины.
 

В данном разделе будут рассмотрены виды погрешностей, свойственные мерам, отдельным элементам и устройствам, а также средствам измерений в целом. Под абсолютной погрешностью меры понимают разность ( отклонение от номинального значения) между номинальным значением меры и истинным значением воспроизводимой ею величины. Так как истинное значение величины остается неизвестным, то на практике вместо него используют действительное значение величины. Следует различать абсолютную погрешность измерительного преобразователя по входу и по выходу. Абсолютную погрешность измерительного преобразователя по входу находят как разность между значением величины на входе преобразователя, определяемой в принципе по истинному значению величины на его выходе с помощью градуировочной характеристики, приписанной преобразователю, и истинным значением величины на входе преобразователя. Абсолютную погрешность измерительного преобразователя по выходу находят как разность между истинным значением величины на выходе преобразователя, отображающей измеряемую величину, и значением величины на выходе, определяемой в принципе по истинному значению величины на выходе с помощью градуировочной характеристики, приписанной преобразователю. Относительная погрешность измерительного прибора определяется как отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к истинному значению измеряемой им величины.
 

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где – приближение к точному значению . Относительная погрешность определяется формулой

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр. В рассматриваемом примере .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

где — старшая значащая цифра числа.
Для двоичного представления чисел имеем .

Тот факт, что число является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или .

Запись вида

означает, что число является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

характеризуется невязкой

где — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного
числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При
округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность
составляет 1300 — 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 — 1280 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение
абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная
погрешность составляет 200 — 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно, 3/197 = 1,5 %.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности.
Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не
превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈ 1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее
относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность — 1,4 %.

Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную
погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение
предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно
предельной погрешностью. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность
(абсолютная или oотносительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания
предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого
соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта»); предельная относительная
погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то

δ = Δ/a.

Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная
относительная погрешность этого измерения?
Здесь а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9.
Округляя, находим δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.

Пример 5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы
предельная относительная погрешность составляла 0,05%?Решение. По условию, предельная абсолютная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная
абсолютная погрешность равна 36*(0,05/100) = 0,0175 (мм) или, усиливая, 0,02 (мм). Можно воспользоваться
формулой δ = Δ/a.
Подставляя в неё а = 35, δ = 0,0005, имеем 0,0005 = Δ/35. Значит, Δ = 35 • 0,0005 = 0,0175 (мм).

* Иначе говоря, если a есть приближенное число, а х – его точное значение, то абсолютная погрешность есть абсолютное
значение разности a – х. В некоторых руководствах абсолютной погрешностью называется сама
разность a – х (или разность х — a). Эта величина может быть положительной или отрицательной.

ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При неравноточных измерениях, когда результаты каждого измерения нельзя считать одинаково надежными, уже нельзя обойтись определением простого арифметического среднего. В таких случаях учитывают достоинство (или надежность) каждого результата измерений.Достоинство результатов измерений выражают некоторым числом, называемым весом этого измерения. Очевидно, что арифметическое среднее будет иметь больший вес по сравнению с единичным измерением, а измерения, выполненные при использовании более совершенного и точного прибора, будут иметь большую степень доверия, чем те же измерения, выполненные прибором менее точным.
Поскольку условия измерений определяют различную величину средней квадратической погрешности, то последнюю и принято принимать в качестве основы оценки весовых значений, проводимых измерений. При этом веса результатов измерений принимают обратно пропорциональными квадратам соответствующих им средних квадратических погрешностей.
Так, если обозначить через р и Р веса измерений, имеющие средние квадратические погрешности соответственно m и µ, то можно записать соотношение пропорциональности:

Например, если µ средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, а m – соответственно, одного измерения, то, как следует из

можно записать:

т. е. вес арифметического среднего в n раз больше веса единичного измерения.

Аналогичным образом можно установить, что вес углового измерения, выполненного 15-секундным теодолитом, в четыре раза выше веса углового измерения, выполненного 30-секундным прибором.

При практических вычислениях обычно вес одной какой-либо величины принимают за единицу и при этом условии вычисляют веса остальных измерений. Так, в последнем примере если принять вес результата углового измерения 30-секундным теодолитом за р = 1, то весовое значение результата измерения 15-секундным теодолитом составит Р = 4.