Приложение а. погрешности вычислений

1.1 Результат измерения

Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня
с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью
некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину
стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с
общепринятым стандартным эталоном.

Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат
x=xизм. Можно ли утверждать, что xизм — это длина
стержня?

Во-первых, значение xне может быть задано точно, хотя бы
потому, что оно обязательно округлено до некоторой значащей
цифры: если линейка «обычная», то у неё
есть цена деления; а если линейка, к примеру, «лазерная»
— у неё высвечивается конечное число значащих цифр
на дисплее.

Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на
самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно,
мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть
изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим
и т.п.

И, наконец, если пытаться хотя бы гипотетически переходить к бесконечной
точности измерения, теряет смысл само понятие «длины стержня». Ведь
на масштабах атомов у стержня нет чётких границ, а значит говорить о его
геометрических размерах в таком случае крайне затруднительно!

Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть
произведено абсолютно точно, то есть
у любого измерения есть погрешность.

Замечание. Также используют эквивалентный термин ошибка измерения
(от англ. error). Подчеркнём, что смысл этого термина отличается от
общеупотребительного бытового: если физик говорит «в измерении есть ошибка»,
— это не означает, что оно неправильно и его надо переделать.
Имеется ввиду лишь, что это измерение неточно, то есть имеет
погрешность.

Количественно погрешность можно было бы определить как разность между
измеренным и «истинным» значением длины стержня:
δ⁢x=xизм-xист. Однако на практике такое определение
использовать нельзя: во-первых, из-за неизбежного наличия
погрешностей «истинное» значение измерить невозможно, и во-вторых, само
«истинное» значение может отличаться в разных измерениях (например, стержень
неровный или изогнутый, его торцы дрожат из-за тепловых флуктуаций и т.д.).
Поэтому говорят обычно об оценке погрешности.

Об измеренной величине также часто говорят как об оценке, подчеркивая,
что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств
исследуемого объекта, но и от процедуры измерения.

Замечание. 
Термин оценка имеет и более формальное значение. Оценкой называют результат процедуры получения значения параметра или параметров физической модели, а также иногда саму процедуру. Теория оценок является подразделом математической статистики. Некоторые ее положения изложены в главе , но для более серьезного понимания следует обратиться к [].

Для оценки значения физической величины корректно использовать
не просто некоторое фиксированное число xизм, а интервал (или
диапазон) значений, в пределах которого может лежать её
«истинное» значение. В простейшем случае этот интервал
может быть записан как

x=xизм±δ⁢x,

где δ⁢x — абсолютная величина погрешности.
Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале
x∈(xизм-δ⁢x;xизм+δ⁢x)
с некоторой достаточно большой долей вероятности (более подробно о
вероятностном содержании интервалов см. п. ).
Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать
относительную величину погрешности:

εx=δ⁢xxизм.

Она показывает, насколько погрешность мала по сравнению с
самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах:
ε=δ⁢xx⋅100%).

Пример. Штангенциркуль —
прибор для измерения длин с ценой деления ,1⁢мм. Пусть
диаметр некоторой проволоки равен ,37 мм. Считая, что абсолютная
ошибка составляет половину цены деления прибора, результат измерения
можно будет записать как d=,40±,05⁢мм (или
d=(40±5)⋅10-5⁢м).
Относительная погрешность составляет ε≈13%, то
есть точность измерения весьма посредственная — поскольку
размер объекта близок к пределу точности прибора.

Источники погрешностей

Рассмотрим различные причины возникновения погрешностей.

Математическая модель задачи является неточной

Погрешность возникает из-за того, что сам численный метод или математическая модель является лишь приближением к точному методу (например, дифференцирование). Кроме того, любая математическая модель или метод могут внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-то особенности рассматриваемой задачи. Модель может прекрасно работать в одних условиях и быть совершенно неприемлемой в других. Такую погрешность называют также методической. Она всегда имеет место, даже при абсолютно точных данных и абсолютно точных вычислениях. В большинстве случаев погрешность численного метода можно уменьшить до требуемого значения за счет изменения параметров метода (например, уменьшением шага дискретизации, или увеличением количества итераций).

Ошибки в исходных данных

Исходные данные задачи часто являются основным источником погрешностей. Ошибки такого типа неизбежны и проявляются в любых реальных задачах, поскольку любое измерение может быть проведено с только какой-то предельной точностью. Вместе с погрешностями, вносимыми математической моделью, их называют неустранимыми погрешностями, поскольку они не могут быть уменьшены ни до начала решения задачи, ни в процессе ее решения.

Следует стремиться к тому, чтобы все исходные данные были примерно одинаковой точности. Сильное уточнение одних исходных данных при наличии больших погрешностей в других не приводит к повышению точности конечных результатов. Если какие-то отдельные точки данных (измерения) явно ошибочные, их можно исключить из вычислений.

Вычислительные ошибки (ошибки округления)

Ошибки этого типа проявляются из-за дискретной (а не непрерывной) формы представления величин в компьютере. Вычислительные ошибки можно свести к минимуму продуманно организовывая алгоритмы.

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного
числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При
округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность
составляет 1300 — 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 — 1280 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение
абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная
погрешность составляет 200 — 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно, 3/197 = 1,5 %.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности.
Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не
превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈ 1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее
относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность — 1,4 %.

Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную
погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение
предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно
предельной погрешностью. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность
(абсолютная или oотносительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания
предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого
соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта»); предельная относительная
погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то

δ = Δ/a.

Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная
относительная погрешность этого измерения?
Здесь а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9.
Округляя, находим δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.

Пример 5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы
предельная относительная погрешность составляла 0,05%?Решение. По условию, предельная абсолютная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная
абсолютная погрешность равна 36*(0,05/100) = 0,0175 (мм) или, усиливая, 0,02 (мм). Можно воспользоваться
формулой δ = Δ/a.
Подставляя в неё а = 35, δ = 0,0005, имеем 0,0005 = Δ/35. Значит, Δ = 35 • 0,0005 = 0,0175 (мм).

* Иначе говоря, если a есть приближенное число, а х – его точное значение, то абсолютная погрешность есть абсолютное
значение разности a – х. В некоторых руководствах абсолютной погрешностью называется сама
разность a – х (или разность х — a). Эта величина может быть положительной или отрицательной.

Что такое погрешность?

Представьте, что вас отправили в магазин купить сахар, но вот незадача: фасованный в пачках как раз закончился и остался только на развес. Что делать, вы просите продавца тогда отмерить вам ровно килограмм. Продавец взял лопатку, наполнил пакет, положил его на весы, и они выдают значение — 1.000 кг.

Как удачно положили.

Вы рассчитываетесь и счастливым возвращаетесь домой. А теперь представим, что по необыкновенной случайности у вас дома имеются весы, показывающие массу с точностью до миллиграмма. Вы решаете интереса ради перевесить пакет, чтобы посмотреть, действительно ли его масса равна строго килограмму.

И какого же удивление, когда более точные весы показывают массу не в 1.000 кг, а в 0.999990 кг. Иными словами, вас обсчитали. Обсчитали, между прочим, на десять миллиграмм!

Чем меньше цена деления прибора, тем точнее измерение. Ваши весы с учетом массы до миллиграмма оказались точнее магазинных «граммовых» весов. Однако и это не предел, ведь существуют фармакологические весы, определяющие массу до микрограмма — одной миллиардной килограмма. Так можно продолжать до бесконечности, пока у нас не закончатся технологические возможности сконструировать еще более точные весы.

Однако все измерительные приборы, пусть и самые точные, несовершенны. Несовершенно даже само то, как мы видим, слышим и ощущаем мир вокруг. Это, наряду с прочими факторами, приводит к тому, что при измерении величины получается ее приближенное значение, не истинное.

Разница между приближенным и истинным значениями и называется погрешностью.

Важно. Погрешность не равно ошибке. В обычном, бытовом языке мы привыкли к тому, что слово «погрешность» у нас ассоциируется с просчетом или упущением

В обычном, бытовом языке мы привыкли к тому, что слово «погрешность» у нас ассоциируется с просчетом или упущением.

В физике погрешность — обыденное явление, присутствующее внутри практически каждой величины, и мало что имеет общего с ошибкой в привычном понимании слова.

Все величины, которые, к примеру, вы видите в типовых физических задачах на вычисление, так или иначе содержат погрешность. Ее не обозначают для удобства. Поэтому помните о невозможности проводить эксперименты в идеальных условиях и о том, что ни один прибор чаще всего не сможет показать результат таким, каков он есть на самом деле.

Как правило, при однократном проведении измерения определить значение погрешности крайне затруднительно: для ее выявления обычно проводят серию равноточных измерений — измерений, произведенных в одинаковых условиях.

После результаты сличаются, то есть сравниваются между собой и, при необходимости, сопоставляются с различными экспериментальными величинами. На основе данных, полученных в результате измерений и сличения, вычисляется погрешность.

30 Поверка и калибровка си. Определения. Правовые основы.

В
соответствии с законом РК «Об обеспечении
единства измерений» введе­ны следующие
понятия:

— поверка
средства измерений —
совокупность операций, выполняемых
органа­ми Государственной метрологической
службы (другими уполномоченными на то
органами, организациями) с целью
определения и подтверждения соответ­ствия
средства измерений установленным
требованиям;

— калибровка
средств измерений —
совокупность операций, выполняемых с
це­лью определения и подтверждения
действительных значений метрологических
характеристик и/или пригодности к
применению средства измерений, не
под­лежащего государственному
метрологическому контролю и надзору.

В
обоих случаях, как при поверке, так и
при калибровке, определяются метрологические
характеристики средств измерений,
причем часто по одной и той же методике,
называемой методикой
поверки,
но на этом их сходство заканчивается. Различия
между этими понятиями имеют
более принципиальный характер.

Во-первых,
в сферах распространения ГМКиН могут
применяться только поверенные СИ, а
калиброванные — не могут.

Во-вторых,
поверке могут подвергаться только СИ
утверж­денного типа, то есть внесенные
в Государственный реестр СИ, а калибровке
— любые, в том числе нестандартизованные
и изготовленные в од­ном экземпляре.

В-третьих,
при поверке проверяется соответствие
СИ своему типу, внесенному в Государственный
реестр, тогда как при калибровке
опреде­ляются действительные
метрологические характеристики, которые
прибор име­ет на момент калибровки.

Если
при поверке СИ обнаружено его несоответствие
хотя бы одному пункту утвержденного
типа, средство измерений должно быть
забраковано. При калибровке этому СИ
будут приписаны новые значения
метро­логических характеристик.

Положительные
результаты поверки удостоверяются
поверительным клеймом или свидетельством
о поверке. Если средство измерений по
результатам поверки признано непригодным
к применению, оттиск поверительного
клейма и свиде­тельство о поверке
аннулируются и выписывается извещение
о непригодности или делаются соответствующие
записи в технической документации.

Результаты
калибровки удостоверяются калибровочным
знаком (клеймом), наносимым на средство
измерений, или сертификатом о калибровке,
а также, записью в эксплуатационных
документах. В соответствии с законом
РК «Об обеспечении единства измерений»
калибровка средств измерений является
процедурой добровольной и осуществляемой
по желанию владельца прибора с це­лью,
например, получения достоверных
результатов измерений, влияющих, в
конечном счете, на результаты труда.
ГМКиН на такие средства измерений не
распространяется.

6.Оценка погрешности при косвенных измерениях.

Чаще всего интересующая нас величина не получается непосредственно из измерений, а вычисляется как функция измеренных значений каких–то других величин. Рассмотрим случай, когда искомая величина Z является функцией нескольких переменных a, b, с,…, значения которых определяются непосредственно из серий измерений:

Z=

Будем считать (это справедливо в подавляющем большинстве случаев), что погрешности измерений

Здесь

производные вычисляются при значениях

Относительная погрешность величины Z=f(a, b, c,…)

будет определяться по формуле:

Для того, чтобы можно было найти явный вид формулы для расчета погрешности косвенных измерений, не зная правил нахождения производственной функции, в Приложении 2 приведены формулы для нахождения абсолютной и относительной погрешности наиболее типичных функций. В частности, если Z=a+b, то

Если

Приведем общую схему оценки погрешности косвенных измерений.

Для каждой серии измерений величины а, b, c, входящих

в определение искомой величины

2. Вычисляется среднее значение результата косвенных измерений:

3. По формулам (6.1) и (6.2) или с помощью таблицы Приложения 2 находятся выражения для абсолютной или относительной погрешности искомой величины, исходя из конкретного вида функциональной зависимости

Какую из величин

4.По полученной в п.3 формуле для абсолютной (или относительной) погрешности вычисляется значение

5. Окончательный результат записывают в виде:

Замечание 1. В ряде случаев обработку результатов косвенных измерений проводят отличным от изложенного выше способом. Значения функции

_123,

Замечание 2. При нахождении результата косвенных измерений иногда необходимо использовать значения величин, известные из других, ранее проведенных измерений. Например, при нахождении ускорения свободного падения с помощью математического маятника (

Ug_A

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 2. Вычислить погрешность измерения площади сечения проволоки. Диаметр проволоки измеряется микрометром, количество измерений равно пяти. Пусть результаты измерения диаметра в точности такие же как и в пример 1. т.е.

Расчет погрешности прямых измерений здесь проводить не будем (он детально рассмотрен в примере 1). Приведем окончательный результат:

Вычислим среднее значение площади сечения

Найдем выражение для расчета относительной погрешности:

Вычислим относительную погрешность:

Вычисляем абсолютную погрешность:

Запишем окончательный результат:

Пример 3. Вычислить погрешность определения ускорения свободного падения g с помощью математического маятника. Величина g определяется выражением:

где l—длина математического маятника:

T –период колебаний;

t–время, за которое совершается N колебаний.

Пусть длина l измеряется три раза сантиметровой линейкой:

1.Обработка прямых измерений (l_i и t_i) производится в соответствии со схемой параграфа 5. Приведем окончательные результаты:

l= (1,85

t=(54,6

2.Вычислим среднее значение

3.Определим для расчета относительной погрешности

4.Вычислим относительную погрешность:

Вычислим абсолютную погрешность:

5.Запишем окончательный результат:

Источник

Методы Корнфельда и Стьюдента

Некоторые экспериментальные исследования требуют многократного измерения одного и того же показателя с помощью аппаратуры или приспособлений. В этом случае высока вероятность возникновения отклонений разброса. Определить ее величины можно разными способами. Самый распространенный и доступный из них называется по автору — методом Корнфельда.

Он применяется в ситуации, когда какая-либо физическая величина была измерена n раз. В этом случае рекомендован следующий порядок действий:

1. Предполагается, что имеется ряд результатов измерений от Х1 до Хn.
2. Из этих величин выбирают минимальную и максимальную.
3. Вычисляют среднее значение Х.
4. В пределах от наименьшего до наибольшего показателя выбирают доверительный интервал.
5. Чтобы найти абсолютное отклонение, необходимо вычесть из максимального результата измерения величину минимального. Полученную разность делят пополам.

Метод Корнфельда имеет существенный недостаток. Чтобы определить вероятность приведенного результата, необходимо провести большое количество измерений. При этом нет возможности изменить границы доверительного интервала. Более точные данные можно получить, используя метод расчета Стьюдента. Для этого используют специальные таблицы, где отражены так называемые коэффициенты Стьюдента.

Методики расчета

Существует несколько методов определения отклонения. Наиболее простой и доступный способ:

Необходимые измерения проводят не менее 5 раз. Это дает возможность вычислить наиболее точное значение параметра. Результаты вносят в таблицу excel.
Полученные величины складывают и делят на количество замеров. В результате получится действительное значение. Его обычно применяют вместо истинного, так как нет возможности вычислить последнее.
Следующий шаг — определение абсолютной погрешности. Ее считают для каждого измерения. Чтобы узнать величину этого показателя, из результата каждого замера вычитают действительное значение

Для обработки данных неважно, положительная или отрицательная получилась цифра. Используют модули полученных чисел, пренебрегая знаками.
Чтобы определить относительную погрешность измерения, нужно разделить абсолютную на действительное значение. Полученное число умножают на 100%.

Полученное число умножают на 100%.

Для определения предельного отклонения выбирают наибольшее значение из всех полученных.

Чтобы получить наиболее точные показатели дискретности цифровых приборов, пользуются средним квадратическим отклонением. Вычислить его можно следующим способом:

1. Каждый показатель абсолютной погрешности возводят в квадрат и записывают.
2. Полученные результаты складывают между собой.
3. Сумму всех квадратов делят на число, которое на единицу меньше количества измерений.
4. Из результата вычислений извлекают квадратный корень — это и будет среднее квадратическое отклонение.

Чтобы вычислить, чему равна относительная погрешность измерения, важно придерживаться некоторых правил. Складывая или вычитая числа, учитывают абсолютные отклонения. Если числа нужно разделить или перемножить, прибегают к относительным показателям

Возведение числа в степень требует умножить относительную погрешность на показатель этой степени.

Если числа нужно разделить или перемножить, прибегают к относительным показателям. Возведение числа в степень требует умножить относительную погрешность на показатель этой степени.

Результаты фиксируются в виде десятичных дробей. Точное значение может быть очень длинным, вплоть до бесконечного. Для удобства используют только среднее значение

При этом важно помнить о существовании верных и сомнительных цифр. У первой категории цифр разряд бывает выше допустимой погрешности, у второй — ниже.. При расчете относительной погрешности измерения времени формула включает в себя отношение среднего отклонения к среднему значению времени, умноженное на 100%

Эта же закономерность применяется для оценки температуры и других физических величин.

При расчете относительной погрешности измерения времени формула включает в себя отношение среднего отклонения к среднему значению времени, умноженное на 100%. Эта же закономерность применяется для оценки температуры и других физических величин.

Откуда берется погрешность измерений?

Одна из самых быстрых машин, которую можно встретить на городской дороге — BMW M8 Competition. Согласно тестированиям автопроизводителя способна разгоняться до 100 км/ч за впечатляющие 2.5 с. Иными словами, вы успеете моргнуть лишь единожды. Прежде, чем спидометр стильного немецкого купе выдаст отметку «100» и, озорно светя задними габаритными огнями, улетит в закат.

Рисунок 1. Панель приборов автомобиля. Спидометр располагается справа

Физические величины различного рода и их измерения так или иначе окружают нас везде. К примеру, та же вышеупомянутая динамика разгона. Время, за которое транспортное средство разгоняется до определенной скорости, является важным параметром для любого автомобилиста, приобретающего новенький спорткар в салоне.

В жару мы то и дело поглядываем на отметку термометра. И ужасаемся, когда температура на отметке безжалостно приближается к 40 °C. Если опаздываем, то обязательно держим под рукой часы и проверяем время по минутам.

Когда худеем, каждое утро начинаем со взвешивания и фиксируем массу своего тела в килограммах. Расстраиваемся, если набрали пару сотен лишних граммов.

Это — физические величины. Правда несмотря на то, что физика относится к наукам точным, как бы удивительно ни было, ни одна ее величина — ни время, ни длина, ни скорость, ни что-либо еще —  не может быть выражена с предельной точностью.

Ведь вряд ли вы весите, скажем, ровно 60 килограмм без единого лишнего миллиграмма. Или имеете рост ровно 170 сантиметров. Ровно так же, как и BMW M8 Competition не разгоняется до 100 км/ч абсолютно ровно за две с половиной секунды.

Абсолютная погрешность — измерительный прибор

Абсолютная погрешность измерительного прибора представляет собой расхождение ( разность) между измеренным Ли и действительным ( истинным) Лд значениями измеряемой величины ДЛ — / 4н — Ац. Истинное значение измеряемой величины находят с учетом поправки. Поправка — это величина, обратная по знаку абсолютной погрешности: ДР — ДЛ Ал-А. Абсолютная погрешность электроизмерительных приборов со стрелочным показателем практически неизменна в пределах всей шкалы, поэтому с уменьшением значения измеряемой величины она возрастает. Для повышения точности измерения измеряемой величины на показывающих приборах со стрелочным указателем следует выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчитывать показания примерно в пределах 2 / 3 всей шкалы.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора равна разности между показанием прибора и действительным ( точным) значением измеряемой величины.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора определяется разностью между показанием прибора и истинным значением измеряемой величины. Погрешность показаний прибора имеет своими источниками погрешности отдельных его элементов: чувствительного элемента, передаточного механизма и шкалы. Погрешность чувствительного элемента заключается в том, что действительная зависимость его перемещений от измеряемой величины не совпадает с расчетной, заложенной в схему прибора. Погрешность шкалы складывается из ошибки положения ее штрихов и эксцентриситета шкалы.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины. Так как истинное значение измеряемой величины установить нельзя, в измерительной технике используется так называемое действительное значение, полученное с помощью образцового прибора.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины. Поскольку последнее установить нельзя, то в измерительной технике используют так называемое действительное значение, полученное посредством образцового прибора.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины Так как величину истинного значения измеряемой величины установить нельзя, в измерительной технике используется так называемое действительное значение, полученное с помощью образцового прибора.
 

Приведенная погрешность измерительного прибора — отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к нормирующему значению, выраженное в процентах.
 

Корректность поставленных экспериментов доказана отсутствием превышения абсолютных ошибок измерения как при определении перемещений, так и напряжений над абсолютной погрешностью используемых измерительных приборов.
 

В некоторых случаях ( для образцовых и рабочих средств измерений повышенной точности) для исключения систематической погрешности показаний вводят поправку, равную абсолютной погрешности измерительного прибора.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора определяется разностью между показанием прибора и действительным значением измеряемой величины.
 

В данном разделе будут рассмотрены виды погрешностей, свойственные мерам, отдельным элементам и устройствам, а также средствам измерений в целом. Под абсолютной погрешностью меры понимают разность ( отклонение от номинального значения) между номинальным значением меры и истинным значением воспроизводимой ею величины. Так как истинное значение величины остается неизвестным, то на практике вместо него используют действительное значение величины. Следует различать абсолютную погрешность измерительного преобразователя по входу и по выходу. Абсолютную погрешность измерительного преобразователя по входу находят как разность между значением величины на входе преобразователя, определяемой в принципе по истинному значению величины на его выходе с помощью градуировочной характеристики, приписанной преобразователю, и истинным значением величины на входе преобразователя. Абсолютную погрешность измерительного преобразователя по выходу находят как разность между истинным значением величины на выходе преобразователя, отображающей измеряемую величину, и значением величины на выходе, определяемой в принципе по истинному значению величины на выходе с помощью градуировочной характеристики, приписанной преобразователю. Относительная погрешность измерительного прибора определяется как отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к истинному значению измеряемой им величины.
 

Понятие и классификация

Под термином погрешность принято понимать степень отклонения реальной величины от вычисленной. Этот показатель служит мерой точности измерения.

Существует несколько разновидностей погрешности:

1. Абсолютная — оценка ошибки в абсолютных единицах. Величина ее может быть разной в зависимости от способа расчета.
2. Относительная — отношение абсолютной величины к тому значению, которое принято считать истинным. Измеряется в процентах.
3. Приведенная — разновидность относительной. Ее вычисляют отношением абсолютной и условной постоянной величины, определяется в процентах.
4. Приборная или инструментальная — погрешность, которую дают технические средства измерений. Она обусловлена неточной цифровой градуировкой приборов или недостаточной наглядностью. Класс точности приборов будет равен максимальной приведенной погрешности и выражается в процентах. К примеру, класс точности вольтметра ΔU = ±0,75 В.
5. Методическая — связанная с несовершенством метода измерения или его чрезмерным упрощением.
6. Субъективная или операторная — погрешность, связанная с личными свойствами оператора — невнимательностью, утомлением, профессиональной подготовленностью.
7. Случайная. Погрешность, которая может изменяться при разных измерениях. Изменения возможны по знаку или величине отклонения. Причиной может быть техническое несовершенство приборов отсчета или объекта измерения, неблагоприятные для работы условия или особенности измеряемых единиц.
8. Систематическая. Погрешность, изменения которой имеют некоторую закономерность во времени. В качестве частного случая допускают постоянное отклонение, которое не изменяется во времени.
9. Прогрессирующая или дрейфовая — медленно изменяется во времени и не может быть предсказана. Такое отклонение относится к случайным.
10. Грубая или промах. Значительное отклонение от принятой нормы. Возникает в результате неисправности аппаратуры или ошибки экспериментатора.

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где – приближение к точному значению . Относительная погрешность определяется формулой

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр. В рассматриваемом примере .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

где — старшая значащая цифра числа.
Для двоичного представления чисел имеем .

Тот факт, что число является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или .

Запись вида

означает, что число является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

характеризуется невязкой

где — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.